Mogi强度准则

前面讨论的Drucker-Prager准则、Murrell准则实际上都是八面体的剪切应力与正应力之间的某种关系，除此之外，还有

岩石的力学性质

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这可以作为Murrell准则的推广。不过，Mogi（1971）发现其所作的真三轴试验结果不能用八面体应力来处理。由于试样破坏面多在中间主应力方向，因而设想强度准则中表示平均正应力的部分不应该包含中间主应力σ2，即：一般形式的强度准则是

τoct=f（σm，2） （5.26）

σm，2=（σ1+σ3）/2 （5.27）

Mogi的试验结果与公式完全吻合^［18］。文献［19］依据文献［20，21］的试验结果，推荐幂函数形式的Mogi准则

岩石的力学性质

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式中A、B为材料参数。Westerly 花岗岩是τoct= ；KTB 闪岩是τoct= 。

文献［22］对文献中8种岩石的真三轴试验结果进行了分析，发现线性 Mogi准则

τoct=a+bσm，2 （5.29）

同样能反映岩石的强度特征，且更便于使用。Westerly 花岗岩为τoct=30.19+0.712σm，2，KTB 闪岩为τoct=40.10+0.636σm，2。不过，Mogi准则的可行性仍值得讨论^［2］。

5.4.1 幂函数型Mogi准则的特征

Mogi 准则τoct= 有两个参数，可以利用试验结果来确定。单轴压缩强度R也应该满足该准则，因而有

岩石的力学性质

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将Mogi准则的公式（5.28）除以公式（5.30），得

岩石的力学性质

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于是，Mogi准则的参数可以转换为 R 和 B。值得注意的是，这里参数R并不是岩石实际单轴压缩的强度σ0，而是一个回归参数。正如前面所说Coulomb准则σ1=Q+Kσ3中的参数Q也是一个回归参数，且通常都是稍大于σ0。由于

（σ1-σ2）²+（σ2-σ3）²+（σ3-σ1）²

=2（σ1+σ3）²+2σ2（σ2-σ1）-2σ2σ3-6σ1σ3

≤2（σ1+σ3）²

所以公式（5.31）中的参数B总是小于1，B＜1。如果用参数R将应力无量纲化，且仍用原来的符号表示，即以后岩石的单轴压缩强度为单位1，则公式（5.31）可简化为

（σ1-σ2）²+（σ2-σ3）²+（σ3-σ1）²=2（σ1+σ3）^2B（5.32）

下面以公式（5.32）来讨论Mogi 准则。

（1）常规三轴压缩强度和三轴伸长强度

在σ2=σ3和σ2=σ1时，强度都满足相同的公式

（σ1-σ3）=（σ1+σ3）^B （5.33）

即常规三轴压缩强度和三轴伸长强度相同。将上式改写为

2σ3=（σ1+σ3）-（σ1+σ3）^B （5.34）

对任一给定的σ1+σ3≥1，从公式（5.34）可以得到最小主应力σ3，绘出围压与强度的关系（图5-14），不考虑围压较小的区域，两者大致呈线性关系。根据常规三轴试验结果，可以确定参数B大于0.5，对于大多数岩石参数B在0.7～0.85之间。

不过许多试验结果，如 Carrara大理岩^［23，24］，Solnhofen石灰岩^{［25］春槐歼族}，Dunham白云岩和Westerly花岗岩^［26］，常规三轴压缩强度总是小于三轴伸长强度，且差距明显。

图5-14 基于Mogi准则的常规三轴压缩强度和三轴伸长强度与最小主应力的关系

图5-14 基于Mogi准则的常规三轴压缩强度和三轴伸长强度与最小主应力的关系

（2）给定最小主应力的最大强度

在σ3恒定，将公式（5.32）对σ2求导，得

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在σ2=（σ1+σ3）/2时σ1有唯一驻点。在σ2=σ3时将公式（5.33）代入上式，有

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即强度随扒改友着σ2从σ2=σ3增加而增加，并在σ2=（σ1+σ3）/2时达到最高值，该值满足方程

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在σ3=0时有

对Westerly花岗岩^［19］，B=0.89，在σ3=0和σ2=1.85时最大强度σ1=3.70，单轴压缩强度是单位1。显然Mogi准则给出的中间主应力的影响程度偏高。

将方程（5.36）变为

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对任一给定的（σ1+σ3）≥ ，由上式可以计算σ3。图5-15是不同参数B时最大强度与最小主应力的关系，相应的中间主应力为σ2=（σ1+σ3）/2。

图5-15 最大强度与最小主应力的关系

图5-15 最大强度与最小主应力的关系

中间主应力σ2对强度的影响程度随参数B的增大而增大，随最小主应力的增加而减小。图5-16是Westerly 花岗岩在σ2=（σ1+σ3）/2时最大强度与常规三轴强度与最小主应力的关系，其参数B=0.89。在σ3=0 时中间主应力的影响程度为3.70，σ3=80MPa时为0.754，这都远超过一般的试验结果。

（3）中间主应力对强度的影响特征

方程（5.32）可以写成

岩石的力学性质

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图5-16 Westerly花岗岩最大强度、常规三轴强度与最小主应力的关系

图5-16 Westerly花岗岩最大强度、常规三轴强度与最小主应力的关系

对给定的σ3和σ1，后者的最小值和最大值由方程（5.33）和（5.36）确定，从上式可以解得两个σ2，分别大于和小于（σ1+σ3）/2。图5-17是最小主应力为0时中间主应力对强度的影响曲线，参数B 等于0.5，0.6，0.7，0.8 和 0.85。如前所述，参数 B 总是大于0.5，而B＞0.5 的曲线存在明显的缺陷：中间主应力不是单调增加到σ2=σ1，或者说Mogi准则在应力空间是非凸的。

图5-17 在最小主应力σ3=0时最大主应力σ1与中间主应力σ2的关系

图5-17 在最小主应力σ3=0时最大主应力σ1与中间主应力σ2的关系

图5-18是Westerly花岗岩在最小主应力σ3=0，20，38MPa 时，基于 τoct= 中间主应力对强度的影响曲线。这样的曲线存在欠缺：当应力状态位于图中区域 A 内岩石并不破坏，但在保持最小主应力和中间主应力恒定、降低最大主应力却可以使岩石达到破坏准则。这是不真实的。文献［27］指出，给定σ2、σ3下强度可能出现两个数值，与此含义相同。

将公式（5.33）代入公式（5.35）可以得到在σ2=σ1处的导数

岩石的力学性质

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在

B=0.5（σ1+σ3）/（σ1-σ3）， （5.40）

为无限。在B较小或σ3较大时导数为负值，即σ2从σ2=σ3增加到σ2=（σ1+σ3）/2时强度增加；而σ2从σ2=（σ1+σ3）/2增加到σ2=σ1时强度减小。但在B较大或σ3较小时导数为正值，即σ2从σ2=（σ1+σ3）/2增加到σ2=σ1时强度是增加的，出现图5-17和图5-18的奇异区域。

公式（5.40）可以写为

（σ1-σ3）=（σ1+σ3）/2B （5.41）

并利用公式（5.31）有

（σ1+σ3）=（2B）^1/（1-B）

代入公式（5.41）有

（σ1-σ3）=（2B）^B/（1-B）

解得

σ3=（（2B）^1/（1-B）-（2B）^B/（1-B））/2 （5.42）

对给定的0.5≤B＜1，可以确定临界的σ3。位于图5-19曲线右下区域的参数B和σ3将引起强度准则的奇异。由于孔壁破裂时最小主应力总是很低的，因而依据孔壁崩塌形状，利用 Mogi 准则确定地应力的可靠性，需要更仔细的研究。

图5-18 基于Mogi准则Westerly花岗岩在不同最小主应力下最大主应力与中间主应力的关系

图5-18 基于Mogi准则Westerly花岗岩在不同最小主应力下最大主应力与中间主应力的关系

图5-19 中间主应力影响强度奇异的B和σ3区域

图5-19 中间主应力影响强度奇异的B和σ3区域

5.4.2 线性Mogi准则的特征

线性Mogi准则给出的常规三轴压缩强度与伸长强度也是相同的，满足

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或

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如果利用Coulomb准则来确定参数a和b，那么线性Mogi准则可以写为

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c岩石的粘聚力，φ为内摩擦角^［22］。

在固定最小主应力、改变中间主应力时，强度的最大值在σ2=（σ1+σ3）/2 时达到，满足

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或

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文献［22］给出的参数 b 的范围是 0.41（Solenhofen 石灰岩）到 0.71（Westerly 花岗岩），因而对b=0.4，0.5，0.6，0.7和0.75等5种情形计算公式（5.44）和（5.47）中的各个参数，表5-1。从表中数据可以看出，参数b对强度的影响作用显著。

表5-1 常规三轴压缩强度和固定最小主应力最大强度的计算参数

表5-1 常规三轴压缩强度和固定最小主应力最大强度的计算参数

为了考察中间主应力对强度的影响，将线性Mogi准则改写为

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在给定最小主应力后，每一介于公式（5.44）、（5.47）之间σ1，都有相应的两个σ2。图5-20 是最小主应力等于0 时，不同的参数b下中间主应力与强度的关系。

在保持σ3恒定，将公式τoct=a+bσm，2对σ2求导，在σ2=σ1处有

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在b= =0.471，导数 为无限。在b大于 时，导数将成为正数，引起强度准则的奇异。对KTB 闪岩b为0.694，对 Westerly花岗岩b是0.740，都大于 2/3。

图5-21 是 Westerly 花岗岩在最小主应力 σ3=0，20，38MPa 时，线性 Mogi 准则τoct=30.19+0.712σm，2体现的中间主应力对强度的影响规律。当应力状态处于图中区域A，保持其他两个应力恒定减小最大主应力可以使岩石破坏。这显然是不真实的。此外，从线形准则得到的中间主应力影响程度达到2以上，也大大超过试验结果。

图5-20 最小主应力等于0时中间主应力与强度的关系

图5-20 最小主应力等于0时中间主应力与强度的关系

图5-21 基于线性Mogi准则计算的中间主应力对Westerly花岗岩强度的影响规律

图5-21 基于线性Mogi准则计算的中间主应力对Westerly花岗岩强度的影响规律

5.4.3 试验结果与Mogi准则的关系

Mogi准则具有明显的欠缺，但能很好的拟合试验结果，需要对此作出解释。

（1）Westerly花岗岩

图5-22是Westerly花岗岩的真三轴试验结果，最小主应力0～100MPa下中间主应力对强度的影响曲线。又文献［19］在文献［20］的基础上又增加了中间主应力的试验范围，试验数据的量和质都是相当好的。图中大写字母A～G标志的7个数据，将被选出来进行具体分析计算。Westerly花岗岩因其均匀、各向同性，在岩石力学试验室得到了充分研究。

将图5-22的数据用τoct和（σS+σ3）/2处理，发现两者具有极好的相关性，如图5-23

所示。图中曲线是幂函数Mogi准则。就岩石力学的试验结果而言，图5-23所示的拟合精度是很高的。当然用线性Mogi准则来回归同样可以得到很高的拟合精度。似乎简单的幂函数τoct= 或线性关系τoct=a+bσm，2可以描述复杂的岩石力学性质。假如这是真的，利用常规三轴压缩试验结果就可以确定Mogi准则中的两个参数，并不需要进行真三轴试验。这样的结论似乎不能成立。

图5-22 Westerly花岗岩的真三轴试验结果^［19］

图5-22 Westerly花岗岩的真三轴试验结果^［19］

曲线旁数字是最小主应力

图5-23 Westerly花岗岩的Mogi准则^［19］

图5-23 Westerly花岗岩的Mogi准则^［19］

图5-23 并非强度与中间主应力、最小主应力之间的直接关系，或者说，Mogi 准则并没有得到直接验证。图5-22中7个试验点估算的实际强度σS（误差大约±5MPa）和从公式τoct=1.51（（σ1+σ3）/2）^0.89得到的计算强度σ1在表5-2给出。

表5-2 试验强度σS和幂函数Mogi准则计算强度σ1的比较　单位：MPa

表5-2 试验强度σS和幂函数Mogi准则计算强度σ1的比较　单位：MPa

图5-23中试验数据点与Mogi准则非常接近，但在相同最小主应力和中间主应力下，实际强度和计算强度差距较大。如图5-24所示，试验数据点A与Mogi准则的差异，即Δ=1.51（（σS+σ3）/2）^0.89-τoct是相当小的，实际强度与计算强度的差异，即（σ1-σS）却大得多，后者是前者的8.63倍。从表5-2可以看到，强度的相对误差可以达到20%以上，是八面体剪切应力的3～4倍。不管实际强度σS大于或小于计算值σ1，其τoct和σm，2均相应增大或减小，具有正相关性，如图5-24 中D和A。由于σ2和σ3相对较小，τoct和σm，2数值都由σS控制，当然具有很好的相关性。以τoct和σm，2表示的试验数据确实非常靠近拟合公式，但并不能证明Mogi准则的正确性。

利用同样的方法可以分析线性Mogi准则。从表5-3可以看出，对 Westerly花岗岩线性Mogi准则预测的强度与实际数值差异更大，相对误差最大达到40%以上。强度的差异是八面体剪切应力差异的10倍左右。这进一步说明，图5-23中τoct和（σS+σ3）/2 的相关性不能证明Mogi准则的正确性。

表5-3 试验强度σS和线性Mogi准则计算强度σ1的比较　单位：MPa

表5-3 试验强度σS和线性Mogi准则计算强度σ1的比较　单位：MPa

图5-24 Westerly花岗岩试验结果与幂函数Mogi准则的关系

图5-24 Westerly花岗岩试验结果与幂函数Mogi准则的关系

用大写字母标志的实心菱形是试验点，用小写字母标示的空心方形是计算点，相同字母具有相同的中间主应力和最小主应力

图5-25 KTB闪岩的真三轴试验结果^［21］

图5-25 KTB闪岩的真三轴试验结果^［21］

（2）KTB闪岩

图5-25是KTB闪岩的真三轴试验结果，最小主应力0～150MPa下中间主应力对强度的影响曲线。这一试验的直接目的是，建立强度准则以利用KTB超深钻孔的井壁崩裂估算地应力。在德国南部Bavaria的KTB钻孔深达9100m，其主要目标之一就是测量地应力^［28］。在3000m以下进行的水压致裂试验只有两次部分成功（深为6000m和9000m），仅能估计小水平主应力^［29］；而深度3000～7000m范围内的井壁崩裂提供地应力的方向，如果构造出相应岩石的强度准则，则可以在了解垂直主应力、小水平主应力的基础上，估计大水平主应力。由于孔壁附近三个主应力差别很大，利用常规三轴试验建立的强度准则难以应用，需要进行真三轴试验并建立强度准则^{［29～31］}。

图5-25中KTB闪岩的真三轴试验数据尽管离散性很大，尤其是最小主应力σ3=150MPa的一组数据；但将试验数据转换成τoct和（σS+σ3）/2后，两者却具有很高的相关性（图5-26）^{［19，21］}，相应的Mogi准则是τoct= 或τoct=40.10+0.636σm，2。图5-25中最小主应力σ3=30MPa的数据X、Y，总有一个是异常，但在图5-26中两者却有协调的关系。

图5-26 KTB闪岩和Mogi准则

图5-26 KTB闪岩和Mogi准则

（试验数据从文献［27］引用，由文献［21］的作者提供）

表5-4 和图5-27具体分析了最小主应力σ3=150MPa的试验数据。点B和点C具有相同的σ2和σ3，但强度σS不同，或者说这是试验结果的离散性，图5-27中相应的τoct和σm，2具有很好的相关性。C，D，F和E显示了σ1的变化，而不是的σ2作用。

表5-4 试验强度σS和幂函数Mogi准则计算强度σ1的比较　单位：MPa

表5-4 试验强度σS和幂函数Mogi准则计算强度σ1的比较　单位：MPa

图5-27 KTB闪岩试验结果与幂函数Mogi强度准则的关系

图5-27 KTB闪岩试验结果与幂函数Mogi强度准则的关系

用大写字母标志的实心菱形是试验点，用小写字母标示的空心方形是计算点，相同字母具有相同的中间主应力和最小主应力

从图5-27可以看到，仅含有两个参数的Mogi准则不能正确预测岩石的三轴强度。这是必然的。因为岩石的单轴压缩强度是一个材料参数，描述围压对强度的影响需要第二个参数，而希望强度准则能够描述中间主应力的作用，肯定需要更多的参数。

标签：Mogi,准则,强度